segunda-feira, 15 de outubro de 2012

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Energia cinética

Borges e Nicolau

A energia que um corpo possui e que está associada a seu estado de movimento, chama-se energia cinética.
Um corpo de massa m apresenta, em dado instante, uma velocidade v. Sua energia cinética Ec é dada por:

Ec = m.v2/2

Teorema da energia cinética (TEC)

xxxxxxA variação da energia cinética de um corpo entre dois instantes xxxxxxquaisquer é dada pelo trabalho da resultante das forças que xxxxxxatuam sobre esse corpo, neste intervalo de tempo.

Este teorema tem validade geral. Entretanto, vamos fazer a demonstração na situação particular, representada na figura: num dado instante, um corpo de massa m ocupa a posição A, apresentando uma velocidade vA. Sob a ação de uma força resultante FR, suposta constante, esse corpo é acelerado de modo a apresentar na posição B, ao final de certo intervalo de tempo Δt, a velocidade vB.


A energia cinética do corpo variou de um valor inicial EcA para um valor final EcB. A variação de energia cinética ocorrida no intervalo de tempo considerado será dada por:

ΔEc = EcBEcA  =>  ΔEc = m.(vB)2/2 - m.(vA)2/2  =>    
ΔEc = m/2.[(vB)2(vA)2]
Da equação de Torricelli (vB)2 = (vA)2 + 2.a.Δs, vem: (vB)2 - (vA)2 = 2.a.Δs. Portanto:
ΔEc = m/2.(2.a.Δs)  =>  ΔEc = m.a.Δs  =>  ΔEc = FR.Δs
Sendo FR.Δs = τR o trabalho realizado pela força resultante FR que atua sobre o corpo, obtemos:

ΔEc = τR

Exercícios básicos

Exercício 1:
Qual é a energia cinética de um carro de massa 800 kg e que se desloca com velocidade constante de 72 km/h?

Resolução:

Ec = m.v2/2 => Ec = 800.(20)2/2 => Ec = 1,6.105 J 

Resposta: 1,6.105 J 

Exercício 2:
Um corpo possui, num certo instante t1, velocidade v e energia cinética igual a 20 J. Num instante posterior t2 sua velocidade passa a ser 2v. Determine:
a) a energia cinética do corpo no instante t2;
b) o trabalho da força resultante que age no corpo entre os instantes t1 e t2.

Resolução:

a) Ec1 = m.v2/2 = 20 J; Ec2 = m.(2v)2/2 => Ec2 = 4.m.v2/2 =>
Ec2 = 4.Ec1 = 80 J
 

b) τR = Ec2 - Ec1 => τR = 60 J

Respostas: a) 80 J; b) 60 J


Exercício 3:
Uma partícula, de massa m = 200 g, é lançada obliquamente do solo com velocidade de intensidade v0 = 20 m/s, formando com a horizontal um ângulo θ = 60º. Determine a energia cinética da partícula no instante em que atinge a altura máxima.
 

Resolução:

No ponto de altura máxima a velocidade da partícula é:vx
v = vx = v0.cos 60° => v = 20.0,5 => v = 10 m/s 
Ec = m.v2/2 => Ec = 0,2.(10)2/2 => Ec = 10 J

Resposta: 10 J

Exercício 4:
Sob ação de uma força vertical de intensidade F = 15 N, um bloco de peso P = 10 N é levado, a partir do repouso, do solo até uma posição de altura h = 1,6 m, onde chega com velocidade v. Determine v.
É dado g = 10 m/
s2.
 

Resolução: 

Teorema da energia cinética 
τR = ΔEc => τF + τP = m.v2/2 – 0 => F.h – P.h = m.v2/2 =>
15.1,6 – 10.1,6 = 1,0.
v2/2 => v = 4,0 m/s

Resposta: 4,0 m/s


Exercício 5:
O plano inclinado da figura possui 30 m de comprimento e 2,0 m de altura. Um pequeno bloco de massa m = 1,0 kg parte do repouso do ponto A e atinge o ponto B com velocidade v = 4,0 m/s.
Sendo g = 10 m/s
2, determine:
a) o trabalho da força de atrito entre o corpo e o plano;
b) a intensidade da força de atrito. 



Resolução:

a) Teorema da energia cinética 
τR = ΔEc => τFat + τP + τFN = m.v2/2 – 0 =>
τFat + m.g.h + 0 = m.v2/2 => 
τFat + 1,0.10.2,0 + 0 = 1,0.(4,0)2/2 => τFat = -12 J

b)
τFat = -Fat.d => -12 = -Fat.30 => Fat = 0,4 N

Respostas: a) -12 J; b) 0,4 N


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