segunda-feira, 26 de março de 2012

Cursos do Blog - Mecânica

Movimento uniformemente variado (MUV) (II)

Borges e Nicolau

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).

Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).

α = αm = Δv/Δt 0

Função horária da velocidade escalar

Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0)

v = v0 + α.t

Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)

Função horária dos espaços

s = s0 + v0.t + (α.t2)/2

Equação de Torricelli

v2 = v02 + 2.α.Δs

Propriedade do MUV

vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2

Exercícios básicos

Exercício 1:

Renato Pé Murcho


Nos anos finais da década de 1970 surgiu no Guarani de Campinas um jogador muito talentoso chamado Renato. Atuava como meia armador e, tendo a seu lado o centroavante Careca, compôs um ataque arrasador que levou o Guarani ao título nacional.

Depois da conquista histórica Renato e Careca tiveram seus passes negociados, passando a defender o São Paulo. Com atuações brilhantes no tricolor foram convocados para a seleção brasileira de 1982, que disputou a Copa do Mundo na Espanha e que muitos consideram a melhor de todos os tempos, apesar da tragédia de Sarriá, quando o Brasil perdeu da Itália por 3 a 2 e ficou fora da competição.

Renato tinha o apelido de “Pé murcho”, o que nos leva a imaginar que os arremates não eram o seu forte. Em um jogo do São Paulo contra o Internacional de Porto Alegre, Renato chutou uma bola parada da meia lua da área em direção ao gol adversário. O goleiro fez a defesa e a Rede Globo informou com dados obtidos em seu novíssimo computador:

A bola viajou 15 metros, praticamente em linha reta, com aceleração escalar constante, tendo permanecido no ar durante 2 segundos. Imediatamente após o chute a velocidade da bola era de 10 m/s.

No momento em que os dados sobre a velocidade final e a aceleração escalar da bola seriam colocados no ar, houve uma pane elétrica nas cabines da imprensa.

Você faria a gentileza calcular os dados faltantes para que Galvão Bueno possa informar à galera? 

Resolução:

Sendo a aceleração da bola constante, vem:

s = s0+v0.t+α.
t2/2 => 15 = 0+10.2+α.22/2 => α = -2,5 m/s2

v = v0 + α.t => v = 10+(-2,5).2 => v = 5,0 m/s 


Resposta: v = 5,0 m/s

Exercício 2:

Um ciclista em movimento retilíneo e uniformemente variado passa pela origem O de sua trajetória com velocidade escalar +10 m/s e aceleração escalar -0,2 m/s
2. Qual é a máxima distância do ciclista à origem O?


Resolução:


A máxima distância do ciclista à origem O ocorre no instante em que a velocidade do ciclista se anula. A partir deste instante inverte-se o sentido do movimento.

v = v0 + α.t => 0 = +10+(-0,2).t => t = 50 s


s = s0+v0.t+α.t2/2 => s = 0+10.50+(-0,2).(50)22/2 => S = 250 m

Resposta: 250 m

Exercício 3:

Um móvel realiza um movimento retilíneo e uniformemente variado cuja função horária é, em unidades do SI, s = 5 + 8.t – 2.
t2.
Determine, entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 3 s, a variação de espaço e a distância efetivamente percorrida pelo móvel.
 

Resolução:

Cálculo de
Δs entre t1 = 1 s e t2 = 3 s
 

Para t1 = 1 s, temos s1 = 5 + 8.1 – 2.(1)2 => s1 = 11 m
Para t2 = 3 s, temos s2 = 5 + 8.3 – 2.(3
)2 => s2 = 11 m
Δs = s2 - s1 = 11 m - 11 m = 0

Cálculo da distância máxima do móvel à origem

Comparando s = s0+v0.t+α.t2/2 com s = 5+8.t-2t2, vem:
v0 = 8 m/s e α = -4 m/s2
v = v0 + α.t = v = 8 - 4.t => 0 = 8 - 4.t => t = 2 s
Para t = 2 s, temos: s = 5+8.2-2.(2)2 => s = 13 m

Cálculo da distância percorrida entre t1 = 1 s e t2 = 3 s
 

De 1 s a 2 s, temosΔs12 = 13 m - 11 m = 2 m
De 2 s a 3 s, temos Δs23 = 11 m - 13 m = -2 m

Distância percorrida d entre t1 = 1 s e t2 = 3 s

d = IΔs12I + IΔs23I = 2 m + 2 m = 4 m
 

Observação: Outra forma de calcular Δs entre t1 = 1 s e t2 = 3 s é somar Δs12 e Δs23 algebricamente

Δs = Δs12 + Δs23 = 2 m + (-2 m) = 0  



Respostas: Δs = 0; d = 4 m

Exercício 4:
A velocidade escalar de uma moto varia de 15 m/s a 5 m/s, após percorrer uma distância de 100 m em movimento uniformemente variado. Qual é a aceleração escalar da moto?
 

Resolução:
 

Da equação de Torricelli, temos:

v2 = v02 + 2.α.Δs => 52 = 152 + 2.α.100 => α = -1 m/s2

Resposta: -1 m/
s2

Exercício 5:

Um trem de 200 m de comprimento inicia a travessia de uma ponte de 100 m com velocidade escalar de 10 m/s e completa a travessia com velocidade escalar de
5 m/s. Considerando o movimento do trem uniformemente variado, determine o intervalo de tempo que dura a travessia.


Resolução:

vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2 => (Ltrem+Lponte)/Δt = (v1+v2)/2
(200+100)/Δt = (10+5)/2 => Δt = 40 s

Resposta: 40 s

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